A
B
C
D
AB∥CD
AB=2
CD=1
步骤 1：画图标条件
直角梯形 ABCD，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，CD=1
E
F
S(AEFB) = S(EDCF)
步骤 2：EF 平行于底边，两区域面积相等
S(AEFB) = S(EDCF)，EF∥AB∥CD
G
H
截长：FG⊥AB，FH⊥CD
截长补短关键构造：
过F作底边的垂线，将梯形分解为
矩形 AEFG + 矩形 EDHF + 两个小三角形
面积等式 ⇒ 一元二次方程
步骤 3：截长补短 — 构造辅助线 FG∥AD∥FH
FG⊥AB，FH⊥CD，构造矩形将梯形分割为已知面积图形
AE
ED
面积推导
设 AE:ED = k:1，梯形总高 H = (k+1)×ED
由平行线分线段成比例：EF = AB - (AB-CD)×k/(k+1)
EF = 2 - 1×k/(k+1) = (k+2)/(k+1)
S(AEFB) = (AB+EF)×AE/2 = (2+(k+2)/(k+1))×k×ED/2
S(EDCF) = (EF+CD)×ED/2 = ((k+2)/(k+1)+1)×ED/2
令二式相等 → 3k² + 2k - 3 = 0
步骤 4：设未知数列面积方程
设 AE:ED=k:1，用梯形面积公式建立方程
结论
3k² + 2k - 3 = 0
k = (-2 + √(4+36)) / 6 = (√10 - 1)/3
AE : ED = (√10 - 1) : 3 ≈ 0.721 : 1
验证：当 k≈0.721，EF≈1.419，S(AEFB)=S(EDCF) ✓
截长补短法总结
通过作垂线分割图形（截长），将面积关系转化为代数方程
步骤 5：求解比例并验证
AE:ED = (√10-1):3 ≈ 0.721:1